Razones trigonométricas básicas para el diseño

 Buenos días,

Hoy vamos a tratar la base de la trigonometría de una forma práctica y dejar de ver la trigonometría como una área de las matemáticas abstracta y complicada, sino útil y sencilla.

Son tres las razones trigonométricas básicas :

Seno, Coseno y Tangente

Su significado geométrico y matemático es el siguiente:

tg(α) = sen(α)/cos(α) = a/b

Es decir, el cos(α) no es un ente matemático súper extraño, sino la base de un triángulo rectángulo dividido por su hipotenusa: cos(α)= b/h

Del mismo modo el sen(α) es la altura de un triángulo rectángulo (Ojo lado opuesto a α) dividido entre la hipotenusa: sen(α)= b/h

Nota: En la circunferencia goniométrica seno es a y coseno es b, porque la hipotenusa (radio) es 1.

La tangente, no es otra cosa que la razón entre el sen y el cos: tg(α) = sen(α)/cos(α) = a/b

Ejemplo 1:

Queremos calcular la altura de un edificio sabiendo que la sombra mide 35 metros y su ángulo con el suelo es de 30º. ¿Cómo la calcularíamos?

Aplicando la fórmula de la tangente: tg(α) = a/b. Despejamos a = tg(α) x b

a = tg(30) x 35 = 20,21 m

Ejemplo 2:

Un  triángulo rectángulo tiene 6cm de base y 8cm de altura. ¿Cuál será su hipotenusa utilizando razones trigonométicas? Demostralo luego por Pitágoras.

Las dos fórmulas en las que se puede despejar la hipotenusa son: 

sen(α)= a/h

cosα)= b/h

Pero nos falta el ángulo... Lo podemos hallar con la tangente tg(α) = a/b = 8/6 = 1,333

Por tanto α = arctg(1,3) = 53,123º

Con el ángulo, despejando hipotenusa de la fórmula del seno o del coseno, obtenemos la solución:

sen(α)= a/h      h x sen(α)= a   h =  a/sen(α)   =   8/sen(53,123º) = 8/0,8 = 10 cm

Por Pitágoras sería h = Raíz de la suma de los catetos al cuadrado = Raíz de (8 x 8 + 6 x 6) = 10 cm

Diseñando un edificio con rectángulos áureos

 Hola a todos. 

En post anteriores, hemos visto que hay edificios como el Partenón o Notre Dame que siguen proporciones y rectángulos áureos.

A continuación os muestro un diseño propio basado en rectángulos áureos:

Ejercicios de repaso del bloque 1

1. A qué escala está dibujado un plano de un edificio, si sabemos que la puerta principal de entrada tiene de ancho 3,40 m, y en el plano hemos medido con la regla 68 mm. 

La regla de tres será (Ojo, pasando todo a centímetros):

1 cm  --------   X cm

6,8 cm ------   340 cm

1 x 340 = X x 6,8

X = 340 / 6,8 = 50 cm

Solución: E 1:50 

2. Hemos comprado 3 kg de manzanas y nos han cobrado 3,45 €. ¿Cuánto nos cobrarían por 1, 2, 5 y 10 kg si el precio fuera proporcional al peso? ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?

Construimos la regla de 3:

3,45 € ---------- 3 kg

x € ------------- 1 kg

x = 3,45/ 3 = 1,15 €

Haríamos lo mismo con 2, 5 y 10 kg Solución: 2,30 €; 5,75 € y 11,5 €, respectivamente.

b) Razón de proporcionalidad = 3/3,45 = 1/1,15 =  2/2,30 = 0,87

3. Hallar el área em m2 de un Rectángulo Áureo de lado menor 60 cm

lg/lp = 1,618

lg/60 = 1,618  

  lg= 1,618 x 60 = 97,08 cm

Por tanto tenemos un rectángulo con lg = 97,08 y lp = 60

A = 97,08 x 60 = 5824,8 cm2

En m2 tendremos que dividir entre (100) y (100) = 10000

A = 5824,8/10000 = 0.58248 m2

4. Tenemos unas baldosas de 50cm x 50cm de mármol ( densidad =2,8 g/cm3) y con ella formamos un palé de  1m3

a) ¿Cuánto pesará el palé?

d= m/ V    

m = d x V

 2,8 g/ cm3 x 1 m3 = 

1,8 x 1 000 000 = 2 800 000 gramos

b) Si las balsosas son de 10 cm de ancho, ¿Cuántas baldosas hay en el palé?

100cm/10 = 10 baldosas de 1 m2, pero como las baldosas son de 50 x 50 en 1 m2 caben 4 baldosas por tanto: 4 x 10 = 40 baldosas

 

5.  Un cuerpo sólido de cierto material, se midió su masa y se encontró un valor de 2kg; al medir su volumen éste fue de 2300 centímetros cúbicos. 

A) calcular la densidad en el SÍ

B) calcular el volumen en centilitros 

Solución: 

a) 869,565 kg/ m3

b) 230 cl

6. Si un edificio de 50 metros, proyecta una sombra con un ángulo de 25 grados.¿ Cuanto medirá la sombra?

Solución: 107,296 m

 7. Tenemos  una casa en una maqueta, cuya altura es 17,5 cm, si la escala de la maqueta es 1:25 ¿Cuánto mide la casa en la realidad en metros?

8. Tenemos un depósito cilíndrico con aceite (d= 0,7 g/cm3)  solo 1/4 del depósito. Si la altura del depósito total es de 3 metros y el diámetro es 40 cm. a) ¿Cuánto pesa el aceite en kg? b) ¿Cuántos litros de aceite hay en el depósito?

Solución: 

a) 65,940 kg

b) 94,2 litros

9.  De un rectángulo áureo sabemos que el lado largo mide 83,5 cm, ¿Cuánto medirá el lado corto?

Solución:  51,606 cm

Ejercicios tipo de Densidad, Volumen y Masa

La densidad de una sustancia, también llamada por algunos autores como la “masa específica“, es una propiedad de la materia que expresa a la masa contenida por unidad de volumen. Su fórmula es:ρ = densidad = m/V
Donde la letra “ρ” RO Griega simboliza a la densidad, Sus unidades en el SI (Sistema Internacional), son en kg/m³ (kilogramo sobre metro cúbico).

Ejercicios:

Problema 1.-Un cuerpo sólido de cierto material, se midió su masa y se encontró un valor de 700 gramos; al medir su volumen éste fue de 2,587 centímetros cúbicos. Calcular la densidad en el SI (Sistema Internacional).


Solución: En este ejemplo, tenemos el dato de la masa de 700 gramos de hierro, y a su vez un volumen de 2587 centímetros cúbicos, entonces nuestros datos no están en el sistema internacional, por lo que haremos una sencilla conversión.






Aplicando la fórmula: 

Problema 2. a) Calcular la densidad en unidades del SI de un prisma rectangular cuyas dimensiones son: largo = 6 cm, ancho = 5 cm y alto = 3 cm. Tiene una masa de 300 gramos. b) Calcular el volumen que ocupará un objeto de la misma sustancia si tiene una masa de 100 gramos.



Solución:

Si observamos el prisma rectangular, vemos que nos proporcionan dos datos muy importantes: la medida de los lados que multiplicadas todas nos proporcionaría el volumen, y adicionalmente también nos provee la masa.


Obtener la densidad del prisma


El volumen de un objeto con la misma densidad

Datos:





a) Obtener la densidad del prisma

Para calcular la densidad, aplicamos la fórmula que ya conocemos:



Sustituyendo en nuestra fórmula:



Podemos notar que hemos convertido los 300 gramos a kilogramos. Entonces:

La densidad es de 3,333.3 kg/m³

b) Obtener el volumen de un objeto con la misma densidad

Si sabemos que la densidad es de 3,333.3 kg/m³ , y que la masa es de 100 gramos. Entonces la formula sería:



Es decir, un volumen de 30 x 10 ^(-6) m³

Resultados:



Problema 3: ¿Qué volumen debe tener un tanque cilíndrico para que pueda almacenar 3040 kg de gasolina cuya densidad es de 680 kg/m³? ¿Y qué altura tendrá el tanque si su diámetro son 4 metros?

Solución:

a) Obtener el volumen del tanque

Para poder obtener el volumen del tanque, primero debemos centrarnos en la fórmula principal de la densidad.



Contamos tanto con la densidad, así como la masa, por lo que procedemos a despejar al volumen:



Sustituyendo nuestros datos en la fórmula, obtenemos:



Es decir, que el volumen del tanque tiene que ser de 4.47 metros cúbicos.

Resultado:



b) Obtener la altura del tanque

Para poder obtener la altura del tanque, primero debemos centrarnos en la fórmula del Volumen de un cilindro.

V = Sb x h = πr2 x h

V = 4,47 m3 = 3,14 x 22 x h

h = 4,47/12,56 = 0,356 m

Volumen y densidad. Ejercicio práctico

Lo primero que tenemos que hacer es recordar la fórmula de la densidad:

d= masa/Volumen

El agua tiene una densidad de 1 gr/cm3, el aceite 0,7 gr/cm3 y por eso flota en el agua. El granito 2,7 gr/cm3 y por ello se hundirá.

En dos objetos de igual forma, el peso será mayor en el objeto con más densidad. Por ejemplo dos canicas iguales, una de acero y otra de madera.




Ejercicio práctico:

a) Calcular la masa de una columna de granito (d= 2,7 g/cm3 ) de altura 4m y anchura 1,25 m

Despejando la masa de la fórmula de la densidad tenemos que m = d x V

La densidad la tenemos, pero no el Volumen -> Vcil = Ab x h = πR2 x h = 3,14 x 0,6252 x 4 = 4,906 m3

Tenemos el volumen, pero hay un problema, la densidad está en cm3

1 cm3 = 1/(1000 x 1000) 1/1000000 = 0,000001 m3

Por tanto:

m = 2,7/0,000001 x 4,906 = 13 246 200 gr = 13 246, 2 kg = 13,2462 Tn

b) Calcular la masa de una columna de granito (d= 2,7 g/cm3 ) de dimensiones dobladas con la anterior (altura 8m y anchura 2,5 m)

Despejando la masa de la fórmula de la densidad tenemos que m = d x V

La densidad la tenemos, pero no el Volumen -> Vcil = Ab x h = πR2 x h = 3,14 x 1,52 x 8 = 39,25 m3

Tenemos el volumen, pero hay un problema, la densidad está en cm3

1 cm3 = 1/(1000 x 1000) = 0,000001 m3

Por tanto:

m = 2,7/0,000001 x 39,25 = 105 975 000 gr = 105 975 kg = 105,975 Tn

¡Como vemos el peso no es el doble, sino 8 veces más!

Demostración de la proporción Áurea en el ejercicio de la espiral

Hola a todos,

Hoy vamos a demostrar que el post anterior de construcción de la Espiral, cumple con la Proporción Áurea del Rectángulo Áureo.

Abrimos Autocad Web:

• Nos ponemos encima del archivo rectángulo áureo, botón derecho, hacemos una copia.
• Nos situamos sobre la copia, botón derecho, cambiar nombre: Comprobación proporción áurea.
• Tiramos la diagonal, construimos el rectángulo en la esquina superior derecha.
• Con anotación, cotas, marcando las cotas, primero un punto, luego el extremo y, finalmente, la situamos fuera de la línea.

Acotamos los tres rectángulos Áureos:

Ahora comprobamos que se cumple la proporción áurea en los tres rectángulos l/a = 1,618

161,8/100= 1,618

100/61,8 = 1,618

61,8/38,2 = 1,618

Desarrollo de la espiral áurea

Buenos días a todos!

Hoy os voy a mostrar el desarrollo de la Espiral Áurea mediante el programa online gratuito Autocad WebEntramos en https://web.autocad.com
Nuevo dibujo
Realizamos el Rectángulo Áureo a partir de un cuadrado de 100 x 100:

Activamos herramienta de rectángulo:

• Marcamos el punto inicial y pulsamos enter.
• En la barra de comandos pulsamos la palabra cotas.
• Escribimos la anchura: 100 y pulsamos enter.
• Escribimos la altura: 100 y pulsamos enter.
• pulsamos en la zona en la que queremos orientar el cuadrado.
• Pulsamos el botón de extender zoom para conseguir que un rectángulo grande

Activamos la herramienta linea

• Pulsamos el botón refent y activamos el punto medio (si no está activado)
• Encontramos el punto medio de lado inferior, pulsamos enter y tiramos la línea a la esquina superior derecha del cuadrado y pulsamos enter. Luego esc.

Activamos la herramienta de círculo.

• Pulsamos en el punto medio del lado inferior
• Tiramos un círculo que pase por la esquina superior derecha. 

Activamos línea

• De la esquina inferior derecha del cuadrado, tiramos una horizontal hasta el círculo.
• De esta intersección, nos vamos a la esquina superior derecha del cuadrado y, sin presionar, buscamos una horizontal hasta la vertical que sale de la intersección anterior. Es decir:

Borrando líneas, tenemos la forma clásica del rectángulo Áureo con a= 100

Ahora vamos a construir la Espiral Áurea:

Para ello primero tenemos que dibujar en el rectángulo Aúreo las siguientes diagonales:

Y luego las siguientes líneas en las intersecciones:

Finalmente trazamos las curvas de la espiral con la herramienta círculo, borrando con la herramienta recorta (modo, rápido) y damos color seleccionando las partes de la espiral y pulsando el color que más nos guste:

Escribimos nuestras iniciales, guardamos, pulsamos a imprimir y generamos el pdf:

Proporción Áurea y Rectángulo Áureo

Muy buenas,

Decimos que dos magnitudes, a y b guardan una proporción Áurea cuando su razón es el número phi (1,618)

Como vemos en el esquema anterior se cumple una curiosidad: Si a/b = 1,618 = (a+b)/a
Es decir: Si a y b guardan proporcionalidad áurea entonces su suma c = a+b y a también guardarán la proporción.


El rectángulo Áureo tiene de longitud (a+b) y de anchura a

Este es el modo de realizar el Rectángulo Áureo de forma geométrica:

en Autocad:

¿Cómo dibujaríamos un rectángulo Áureo de forma matemática? Sabiendo, por ejemplo que el lado estrecho del rectángulo son 100cm. ¿Y cuál es el área de dicho rectángulo áureo? 

Sabemos que el rectángulo tiene esta forma 

También que a/b = 1,618 y que el lado estrecho es a = 100

Por tanto 100/ b= 1,618

100=1,618 x b

b = 100/1,618

b = 61,80 cm

¡Ojo, este no es el lado largo! Sino sólo b, el lado largo será a + b = 100 + 6,18 = 161,8cm

Ya tenemos el rectángulo ( lado 1 = 100 y lado 2 = 161,8 cm 

El área será: Lado 1 x Lado 2 = 100x161,8 = 16180 cm2

Proporcionalidad

Buenas tardes,

Hoy vamos a estudiar los conceptos básicos de proporcionalidad.

Proporción: Relación de correspondencia entre las partes y el todo, o entre varias cosas relacionadas entre sí, en cuanto a tamaño, cantidad, dureza, etc.

Magnitudes directamente proporcionales: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, la otra aumenta o disminuye en la mis a proporción. Ej: El peso y el precio. Si aumentamos el peso de un producto el doble, el triple... su precio también aumenta el doble, el triple... Podemos construir una tabla de valores.

Peso (kg)   1        2        3        4        5

Precio ($)  3        6        9       12      15

Entre los términos correspondientes de las dos magnitudes de esta tabla se establece una proporcionalidad de la siguiente manera: 

1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12 = 5/15 = 0,33

Cada una de estas fracciones se llama razón y al termino que está arriba se le llama antecedente y al que está abajo, consecuente.

La constante de proporcionalidad es el valor común entre el antecedente y el consecuente de cualquier razón de una proporción.

Vamos a verlo mejor con un ejemplo:

En una clase la razón entre el numero de hombres y de mujeres es de 5 a 8, si en total hay 65 alumnos ¿Cuántos hombres y mujeres hay en clase?

La razón de proporcionalidad es h/m = 5/8

Si k es la constante de proporcionalidad, entonces: 

Total de alumnos será = hombres + mujeres = 5 x k + 8 x k = 65

                                                                          13 k = 65

                                                                          k= 65/13 = 5

(Valor común para el antecedente y el consecuente para cualquier total) 

¡Con este resultado no termina el ejercicio! la k tenemos que multiplicarla por el numerador y el denominador de la razón)

Número de Hombres = 5 × k = 5 × 5 = 25

Número de Mujeres = 8 × k = 8 × 5 = 40

Dibujo en Autocad con rectángulo, rombo, círculo y líneas paralelas

Este viernes os presento un dibujo complicado realizado en Autocad Web. Será el siguiente dibujo:

Activamos herramienta de rectángulo:

• Marcamos el punto inicial y pulsamos enter.
• En la barra de comandos pulsamos la palabra cotas.
• Escribimos la anchura: 80 y pulsamos enter.
• Escribimos la altura: 60 y pulsamos enter.
• pulsamos en la zona en la que queremos orientar el rectángulo.
• Pulsamos el botón de extender zoom para conseguir que un rectángulo grande

Hacemos el Rombo

• Activamos la herramienta de línea
• Pulsamos el botón refent y activamos el punto medio
• Encontramos el punto medio de lado superior, pulsamos enter y tiramos la línea al punto medio del lado izquierdo y pulsamos enter.
• En el punto medio de lado izquierdo pulsamos enter y tiramos la línea al punto medio del lado inferior y pulsamos enter.
• En el punto medio de lado inferior pulsamos enter y tiramos la línea al punto medio del lado derecho y pulsamos enter.
• En el punto medio del lado derecho pulsamos enter y tiramos la línea al punto medio del lado superior y pulsamos enter. 
• Pulsamos la tecla esc.

Hacemos las diagonales del Rombo

• Activamos la herramienta de línea.
• Nos situamos en la esquina superior del rombo, pulsamos enter y trazamos una línea vertical hasta la esquina inferior, pulsamos enter y luego la tecla esc, (para dejar de hacer líneas).
• Activamos la herramienta de línea.
• Nos situamos en la esquina izquierda del rombo, pulsamos enter y trazamos una línea horizontal hasta la esquina derecha, pulsamos enter y luego la tecla esc, (para dejar de hacer líneas).

Hacemos el círculo.

• Activamos la herramienta de círculo.
• Pulsamos en el centro del rombo.
• Pulsamos en la barra de comandos diámetro y escribimos 48, luego la tecla esc, (para dejar de hacer círculos).

Hacemos el cuadrado interior del círculo.

• Activamos la herramienta de línea.
• Tiramos líneas desde las intersecciones del círculo con la cruz.
• Finalmente la tecla esc, (para dejar de hacer líneas).

Hacemos las líneas paralelas al cuadrado y los cuadraditos.

• Pulsamos el botón modificar y elegimos la herramienta desfase.
• Escribimos 5, pulsamos enter elegimos el lado del cuadrado para hacer su paralela, elegimos la orientación y pulsamos en la línea paralela creada.
• Lo mismo con los otros tres lados del cuadrado, para conseguir las 4 paralelas.
• Tiramos líneas desde las intersecciones del círculo con la cruz.
• Finalmente la tecla esc, (para dejar de hacer líneas).

Dibujo final:

Escribimos nuestras iniciales y tenemos el resultado final:

Pulsando imprimir y luego trazar como un pdf obtenemos el documento con la figura:

Cuadros proporcionales dibujados con Autocad

 Hola a todos

Hoy os voy a desarrollar el método para dibujar dos cuadrados en Autocad Web. Se trata de un recurso gratuito online de Autocad que nos permite desarrollar los diseño online y guardarlos en nuestra cuenta de la nube.

El diseño que queremos reproducir es el siguiente:

Pasos:
Activamos herramienta de línea
Normalmente está activado el modo orto (abajo izquierda se activa y desactiva, para que sea más sencillo trazar perpendiculares)
Hacemos un cuadro de 100 de lado:

Marcamos el punto inicial y pulsamos enter.
Nos desplazamos a la derecha y tecleamos 100 y pulsamos enter.
Nos desplazamos hacia abajo y tecleamos 100.
Nos desplazamos a la izquierda y tecleamos 100.
Cerramos el cuadro hacia arriba.
Pulsamos esc para salir de la edición del cuadrado.Realizamos ahora el cuadrado de la derecha escala longitudinal 1:0,5, ojo respecto a superficie será ¼.

Reactivamos herramienta de línea
Marcamos el punto inicial, esquina superior derecha del cuadrado de 100
Nos desplazamos a la derecha y tecleamos 50.
Nos desplazamos a la derecha y tecleamos 50 nuevamente.
Nos desplazamos hacia abajo y tecleamos 50.
Nos desplazamos a la izquierda y tecleamos 50.

Cerramos el cuadro hacia arriba.
El resultado en el programa Autocad será:

Guardamos el archivo
-> Guardar y renombrar
Generamos pdf -> Botón imprimir -> Trazar pdf -> Descargar pdf -> Guardar archivo (Se nos guardará en descargas).


El pdf quedará así: